Hablando sobre la Espiral Logarítmica:

¿Qué es una espiral? 

Una curva espiral es la curva descrita por un punto que gira alrededor de otro, que podemos suponer en el origen de las coordenadas de un plano, aumentando su distancia progresivamente a medida que gira.

Es una curva íntimamente asociada al movimiento, en nuestro caso al movimiento giratorio. Su fama es debida a su extensión y popularidad a través de las culturas y el tiempo.

No hace falta salir de nuestro entorno para poder apreciar una espiral, basta con mirar detenidamente.Si vivimos en una ciudad, un paseo por el centro, bastaría para que observemos una. Por ejemplo, en las rejas de las casas y monumentos podemos encontrar a nuestra pequeña traviesa.

La concreción de lo progresivo que sea el alejamiento de la curva del punto de giro del centro, nos indica el tipo de espiral que se trata.

En nuestro caso, nos interesa saber la espiral logarítmica.

Espiral logarítmica:

Hay muchos tipos de espiral pero la que en la naturaleza siempre hace su aparición estelar es.... ¡Exacto! la espiral logarítmica.

Es una espiral en la cual la distancia entre las vueltas no es la misma, si no que aumentan cada vez que gira. La espiral logarítmica es una curva que forma ángulo constante con los radios vectores que parten del centro de giro. La distancia al centro de giro crece de forma exponencial e^x con el ángulo girado.

Los rumbos o loxodromas son las trayectorias en la superficie terrestre que forman ángulo constante con los meridianos. Entonces son las trayectorias naturales en la navegación y solo haría falta una brújula para seguirlas.Si usamos una proyección estereográfica de la Tierra vemos que tales trayectorias se proyectan en las curvas del plano que forma un ángulo constante con los radios vectores.

A continuación la gráfica de la espiral logarítmica:

Ejemplos simples donde aparece la espiral logarítmica es en la concha del molusco Nautilus y la forma de un huracán.

Como el nautilus, muchos animales crecen de acuerdo con la espiral logarítmica. Lo más sorprendente es que justamente esta propiedad de autorreplicación es la que se requiere para realizar una escala musical sin intervalos discordantes, en la que partiendo de una frecuencia f hasta llegar una frecuencia 2f que se pueda volverr a empezar con el mismo criterio matemático para pasar de nuevo de 2f a 4f, generando una escala una octava superior idéntica a la anterior.

De un modo lineal, las notas musicales se distribuirían como se muestra en la siguiente figura:

En una clara correlación entre la progresión aritmética de los propios intervalos musicales y la progresión geométrica de sus frecuencias correspondientes.De esta manera, las notas son el logaritmo de las frecuencias.